Limits

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Related KMR pages:

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Other relevant sources of information:

The concept of limit in mathematics
Indeterminate expression
Indeterminate: the hidden power of 0 divided by 0

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\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; “STANDARD” LIMITS:

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; n \in \mathbb{N} \, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, x \in \mathbb{R} \,

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{a^n}{n^{\alpha}} = \infty \;\; \text{if} \;\; a > 1 . \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{a^x}{x^{\alpha}} = \infty \;\; \text{if} \;\; a > 1 .

\, \lim\limits_{\, n \rightarrow \infty} a^n n^{\alpha} = 0 \;\; \text{if} \;\; | \, a \, | < 1 . \;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow \infty} a^x x^{\alpha} = 0 \;\; \text{if} \;\; 0 ≤ a < 1 .

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\ln n}{n^{\alpha}} = 0 \;\; \text{if} \;\; \alpha > 0 . \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{ \ln x}{x^{\alpha}} = 0 \;\; \text{if} \;\; \alpha > 0 .

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1 . \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \lim\limits_{x \rightarrow \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1 .

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \;\; \text{if} \;\; a > 0 . \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow \infty} a^{\frac{1}{x}} = 1 \;\; \text{if} \;\; a > 0 .

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{a^n}{n!} = 0 .

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} { \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) }^n = e . \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \lim\limits_{x \rightarrow \infty} { \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) }^x = e .

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 .

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1 .

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\arcsin x}{x} = 1 .

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\arctan x}{x} = 1 .

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