Vektoranalys

This page is a sub-page of our page on Calculus of Several Real Variables.

///////

The interactive simulations on this page can be navigated with the Free Viewer
of the Graphing Calculator.

///////

Related KMR-pages:

Gradients
Linear Algebra

///////

Books:

• Ramgard, A., Vektoranalys – 2:a upplagan,
Teknisk Högskolelitteratur i Stockholm AB (THS AB), 1992.

/////// Citerar Ramgard (1992, sid 1):

1.1 Vektorvärda funktioner

En vektorvärd funktion \, \textbf{A} \, är en funktion vars bildområde \, B \, utgörs av vektorer. Låt oss anta att \, \textbf{A} :s definitionsområde \, D \, består av \, n -tupler \, (u, v, \cdots) \, av reella tal; i så fall associerar funktionen \, \textbf{A} \, entydigt en vektor \, \textbf{A} (u, v, \cdots) \, med varje till \, D \, hörande
uppsättning värden på de oberoende variablerna \, u, v, \cdots \,

I allmänhet betraktar vi vektorer, vilka tillhör ett tredimensionellt vektorrum och således kan representeras med pilar i det “vanliga” tredimensionella rummet \, \mathbb{E}^3 . Vi använder ofta kartesiska koordinater \, x, y, z \, för att etikettera punkterna i \, \mathbb{E}^3 ; med ett kartesiskt koordinatsystem menar vi alltid ett rätvinkligt högersystem.

En godtycklig vektor \, \textbf{A} \, kan refereras till basvektorerna \, {\textbf{e}}_x, {\textbf{e}}_y, {\textbf{e}}_z \, i det kartesiska koordinatsystemet:

\textbf{A} \, = \, (A_x, A_y, A_z) \, \equiv \, A_x {\textbf{e}}_x + A_y {\textbf{e}}_y + A_z {\textbf{e}}_z. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1.1)

En vektorvärd funktion är enligt (1.1) ekvivalent med tre reella funktioner:

\, A_x(u, v, \cdots), A_y(u, v, \cdots), A_z(u, v, \cdots) .

Definition: En vektorvärd funktion \textbf{A} (u, v, \cdots) \, sägs vara kontinuerlig i punkten \, (u, v, \cdots) \, om man till varje \, \epsilon > 0 \, kan hitta ett \, \delta(\epsilon) > 0 \, sådant att \, 0 < | \, \Delta u \, | < \delta \, , \, 0 < | \, \Delta v \, | < \delta \, , \, \cdots \, \implies
| \, \textbf{A}(u + \Delta u, v + \Delta v, \cdots) \, - \, \textbf{A} (u, v, \cdots) \, | \, < \, \epsilon .

\textbf{A}(u, v, \cdots) \, är kontinuerlig om och endast om komponentfunktionerna \, A_x(u, v, \cdots), \cdots \, är kontinuerliga funktioner.

Definition: En vektorvärd funktion \textbf{A} (t) \, har gränsvärdet \textbf{A} (t_0) \, \, t \, går mot \, t_0 \, :
\lim\limits_{t \rightarrow t_0} \, \textbf{A} (t) \, = \, \textbf{A} (t_0) , om det för varje \, \epsilon > 0 \, finns ett \, \delta(\epsilon) > 0 \, sådant att

0 < | \, t - t_0 \, | < \delta \, \implies \, | \, \textbf{A} (t) - \, \textbf{A} (t_0) \, | \, < \epsilon .


/////// Slut på citatet från Ramgard (1992).

/////// Citerar Ramgard (1992, sid 7):

2.1 Derivering och integration av vektorvärda funktioner

Derivator av vektorvärda funktioner definieras på formellt samma sätt som
derivator av skalärvärda funktioner:

Definition: Låt \textbf{A} (u) \, vara en vektorvärd funktion,
och låt \, \Delta \textbf{A} \, \equiv \, \textbf{A}(u + \Delta u) - \textbf{A}(u) .
Om gränsvärdet \, \lim\limits_{t \rightarrow t_0} \, \frac{\Delta \textbf{A}}{\Delta u} \, , existerar, sägs \textbf{A} (u) \, ha derivatan \, \frac{d \textbf{A}}{du} \stackrel {\mathrm{def}}{=} \lim\limits_{\Delta u \rightarrow 0} \, \frac{\Delta \textbf{A}}{\Delta u} .

\, \frac{d \textbf{A}}{du} \, , som fås som gränsvärdet av kvoten mellan en vektor och en skalär, är tydligen också en vektorvärd funktion. Om \, \frac{d \textbf{A}}{du} \, deriveras erhålls andraderivatan \, \frac{d^2 \textbf{A}}{du^2} \, etc.

En geometrisk tolkning av derivatan får vi om vi avsätter alla vektorerna \, \textbf{A} (u) \, från en gemensam punkt \, O . Orten för vektorspetsarna blir då en kurva i rummet, den s.k. hodografen, och \, \frac{d \textbf{A}}{du} \, blir en tangentvektor till denna kurva.

Derivatans kartesiska komponenter erhålls genom derivering av
vektorns kartesiska komponenter:

Sats 2.1 \,\, \frac{d \textbf{A}}{du} = \frac{d}{du} (A_x, A_y, A_z) = ( \frac{d \textbf{A}_x}{du}, \frac{d \textbf{A}_y}{du}, \frac{d \textbf{A}_z}{du} ) .

Bevis: Komponentvis derivering (se sid 8). \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \boxdot

Om man vill kan man låta sats 2.1 vara definitionen av \, \frac{d \textbf{A}}{du} .

Sats 2.2 Låt \, \textbf{A} (u) \, och \, \textbf{B} (u) \, vara vektorvärda funktioner
och låt \, \Phi (u) \, vara en skalärvärd funktion.
Då gäller följande deriveringsregler:

\,\frac{d}{du}(\textbf{A} + \textbf{B}) = \frac{d \textbf{A}}{du} + \frac{d \textbf{B}}{du} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2.3)

\,\frac{d}{du}(\textbf{A} \cdot \textbf{B}) = \frac{d \textbf{A}}{du} \cdot \textbf{B} + \textbf{A} \cdot \frac{d \textbf{B}}{du} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \;\, (2.4)

\,\frac{d}{du}(\textbf{A} \times \textbf{B}) = \frac{d \textbf{A}}{du} \times \textbf{B} + \textbf{A} \times \frac{d \textbf{B}}{du} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \;\;\; (2.5)

\,\frac{d}{du}(\Phi \textbf{A}) = \frac{d \Phi}{du}\textbf{A} + \Phi \frac{d \textbf{A}}{du}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\; (2.6)

Bevis: [Bevisen för ovanstående deriveringsregler] är formellt identiska med bevisen för motsvarande deriveringsregler för reella funktioner, vilket beror på att man i bevisen endast utnyttjar räknelagar - additionens kommutativitet samt multiplikationens distributivitet m.a.p. addition - vilka gäller för såväl vektorer som skalärer. \qquad \qquad \quad \;\; \boxdot

Alternativt kan man bevisa (2.3 - 2.6) genom att använda sats 2.1 samt komponentframställningarna av \, \textbf{A} + \textbf{B} \, , \, \textbf{A} \cdot \textbf{B} \, , \, \cdots

[...]

Sats 2.3 Antag att \, \textbf{A} = \textbf{A}(u) \, och \, u = u(v) \, är deriverbara funktioner av \, u \,
respektive \, v . Då gäller

\, \frac{d}{dv} \textbf {A}(u(v)) \, = \, \frac{d \textbf{A}}{du} \frac{du}{dv}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\; (2.7)

Bevis: Använd sats 2.1 samt kedjeregeln för reella funktioner. \qquad \qquad \qquad \quad \; \boxdot

2.2 Partiell derivering av vektorvärda funktioner

Definition: Med den partiella derivatan av \, A(u, v, ...) \, med avseende på \, u \,
menas gränsvärdet (förutsatt att det existerar):

\, \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} \, = \, \lim\limits_{\Delta u \rightarrow 0} \, \frac{ \textbf{A}(u + \Delta u, v, \cdots) \, - \, \textbf{A}(u, v, \cdots) }{\Delta u} .

Sats 2.4 \,\, \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} = \frac{ \partial }{\partial u} (A_x, A_y, A_z) = ( \frac{\partial \textbf{A}_x}{\partial u}, \frac{\partial \textbf{A}_y}{\partial u}, \frac{\partial \textbf{A}_z}{\partial u} ) .

Sats 2.5 Om \, \textbf{A}(u, v, \cdots) \, och \, \textbf{B} (u, v, \cdots) \, är deriverbara, vektorvärda funktioner
och om \, \Phi (u, v, \cdots) \, är en deriverbar, skalärvärd funktion
så gäller följande partialderiveringsregler:

\,\frac{\partial}{\partial u}(\textbf{A} + \textbf{B}) = \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} + \frac{\partial \textbf{B}}{\partial u} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2.10)

\,\frac{\partial}{\partial u}(\textbf{A} \cdot \textbf{B}) = \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} \cdot \textbf{B} + \textbf{A} \cdot \frac{\partial \textbf{B}}{\partial u} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\, (2.11)

\,\frac{\partial}{\partial u}(\textbf{A} \times \textbf{B}) = \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} \times \textbf{B} + \textbf{A} \times \frac{\partial \textbf{B}}{\partial u} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;\, (2.12)

\,\frac{\partial}{\partial u}(\Phi \textbf{A}) = \frac{\partial \Phi}{\partial u}\textbf{A} + \Phi \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\, (2.13)

/////// Slut på citatet från Ramgard (1992).

/////// Citerar Ramgard (1992, sid 11):

2.3 Differentialer av vektorvärda funktioner

Låt \, \textbf{A}(u, v, \cdots) \, vara en vektorvärd funktion,
vars partiella derivator \, \partial \textbf{A} / \partial u , \, \partial \textbf{A} / \partial v , \, \cdots \, är kontinuerliga funktioner.

Vi inför ändringen av funktionsvärdet

\, \Delta \textbf{A} \equiv \textbf{A}(u + \Delta u, v + \Delta v, \, \cdots) \, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; (2.17)

samt differentialen av \, \textbf{A} \,

\, d \textbf{A} \, \equiv \, \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} du \, + \, \frac{\partial \textbf{A}}{\partial v} dv \, + \, \cdots \, . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \; (2.18)

Sats 2.7 Ändringen \, \Delta \textbf{A} \, approximeras godtyckligt nära av differentialen \, d \textbf{A} \,
i den meningen att

\, \Delta \textbf{A} \, = \, d \textbf{A} + \textbf{h} du + \textbf{k} dv + \cdots \, . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; (2.19)

där \, \textbf{h} \, och \, \textbf{k} \, är vektorer, vilkas belopp går mot noll \, d u \, , \, d v \, , \, \cdots \, går mot noll.

[...]

Sats 2.8 Om \, \textbf{A} \, , \, \textbf{B} \, och \, \Phi \, är deriverbara funktioner så gäller differentieringsreglerna:

\, d (\textbf{A} + \textbf{B}) \, = \, d \textbf{A} + d \textbf{B} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2.20)

\, d (\textbf{A} \cdot \textbf{B}) \, = \, d \textbf{A} \cdot \textbf{B} + \textbf{A} \cdot d \textbf{B} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\, (2.21)

\, d (\textbf{A} \times \textbf{B}) \, = \, d \textbf{A} \times \textbf{B} + \textbf{A} \times d \textbf{B} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;\, (2.22)

\, d (\Phi \textbf{A}) \, = \, d \Phi \textbf{A} + \Phi d \textbf{A}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\, (2.23)

[...]

2.4 Ortsvektordifferentialen

Ortsvektorn \, \textbf{r} \, från origo \, O \, till en punkt \, P \,
kan uppfattas som en funktion av \, P :s kartesiska koordinater \, x, y, z \, :

\, \textbf{r} \, = \, \textbf{r}(x, y, z) \, = \, x {\textbf{e}}_x + y {\textbf{e}}_y + z {\textbf{e}}_z \, = \, (x, y, z). \qquad \qquad \qquad \qquad \; (2.24)

Ortsvektordifferentialens kartesiska komponenter erhålls som
differentialerna av \, \textbf{r} :s kartesiska komponenter:

\, d \textbf{r} \, = \, (d x, d y, d z). \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, (2.25)

\, d \textbf{r} \, approximerar ändringen \, \Delta \textbf{r} \, av ortsvektorn
då man går från punkten \, P : x, y, z \,
till en närbelägen punkt \, P' : x + d x, y + d y, z + d z .

I detta speciella fall gäller likhet,
eftersom funktionen (2.24) är linjär i de oberoende variablerna.

/////// Slut på citatet från Ramgard (1992).

/////// Citerar Ramgard (1992, sid 19):

3.1 Gradienten och riktningsderivatan

Låt \, \Phi \, vara ett kontinuerligt deriverbart skalärfält, varmed här och i fortsättningen menas att de tre partiella förstaderivatorna är kontinuerliga funktioner.

I punkten \, \textbf{r}(x, y, z) \, antar fältet värdet \, \Phi(x, y, z) \, och i den närbelägna punkten \, \textbf{r} + d \textbf{r} = (x + d x, y + d y, z + d z) \, antar fältet värdet \, \Phi(x, y, z) + \Delta \Phi ,
där

\, \Delta \Phi \, \approx \, d \Phi \, = \, \frac{\partial \Phi}{\partial x} d x + \frac{\partial \Phi}{\partial y} d y + \frac{\partial \Phi}{\partial z} d z. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; (3.1)

De partiella derivatorna i (3.1) är beräknade i punkten \, \textbf{r} .

Vi introducerar nu ett kontinuerligt vektorfält \, \text{grad} \, \Phi ,
som konsist beskriver \, \Phi :s variation i den omedelbara omgivningen till varje punkt:

Definition: Gradienten av skalärfältet \, \Phi \, är vektorfältet

\, \text{grad} \, \Phi \, \equiv \, (\frac{\partial \Phi}{\partial x}, \frac{\partial \Phi}{\partial y}, \frac{\partial \Phi}{\partial z}). \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (3.2)

Differentialen av \, \Phi \, i (3.1) kan tydligen skrivas som skalärprodukten av \, \text{grad} \, \Phi och ortsvektordifferentialen:

\, d \Phi = \text{grad} \, \Phi \cdot d \textbf{r}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; (3.3)

Denna definition kan f.ö. användas som en koordinatfri definition av gradienten -
vi refererar ej i (3.3) till något särskilt koordinatsystem i rummet.

Vi inför nu ortsvektordifferentialens belopp \, d s \, och riktning \, \textbf{e} \, ( \, \textbf{e} \, är en enhetsvektor):

\, d \textbf{r} = \textbf{e} \, d s \, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\; (3.4)

i ekv. (3.3), vilken vi därefter dividerar med \, d s . På så sätt erhålls
riktningsderivatan i riktningen \, \textbf{e} \, från punkten \, \textbf{r} \, :

\, \frac{d \Phi}{d s} = \text{grad} \, \Phi \cdot \textbf{e}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad (3.5)

Graden av ökning hos \, \Phi \, i en given riktning är således lika med
gradientvektorns komponent i den riktningen.

Om vi vill kan vi definiera riktningsderivatan som

\, \frac{d \Phi}{d s} = \lim\limits_{s \, \rightarrow \, 0} \frac{ \Phi ( \textbf{r} + s \textbf{e} ) - \Phi ( \textbf{r} ) }{ s }. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; (3.6)

Sats 3.1 Värdet av \, \text{grad} \, \Phi \, i punkten \, P \, , vektorn \, {(\text{grad} \, \Phi)}_P \, ,
pekar i den riktning i vilken \, \Phi \, växer snabbast då man utgår från \, P .
Vidare är den maximala ökningen av \, \Phi \, per längdenhet lika med \, | {(\text{grad} \, \Phi)}_P | .

Bevis: Riktningsderivatan i riktningen \, \textbf{e} \, :

\, \frac{d \Phi}{d s} = \text{grad} \, \Phi \cdot \textbf{e} = | {(\text{grad} \Phi)}_P | \, \cos \alpha ,

har maximum lika med \, | {(\text{grad} \, \Phi)}_P | \, \, \alpha = 0 , dvs. då \, \textbf{e} \, \shortparallel \, \text{grad} \, \Phi . \qquad \quad \;\; \boxdot

Sats 3.2 Om \, \Phi \, har maximum eller minimum i en punkt så är \, \text{grad} \, \Phi = 0 \, i punkten.

Sats 3.3 \, \text{grad} \, \Phi \, i punkten \, P \, är ortogonal mot nivåytan \, \Phi = c \, genom punkten \, P .

Bevis: Vid en liten förflyttning \, d \textbf{r} \, längs nivåytan ändras ej skalärfältets värde:

\, d \Phi = \text{grad} \, \Phi \cdot d \textbf{r} = 0 ,

dvs \, \text{grad} \, \Phi \, är ortogonal mot varje \, d \textbf{r} \, i nivåytan,
vilket innebär att \, \text{grad} \, \Phi \, är ortogonal mot nivåytan. \, \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\, \boxdot

Sats 3.4 Det vinkelräta avståndet vid punkten \, P \,
mellan de närbelägna nivåytorna \, \Phi = c \, och \, \Phi = c + h \,
är approximativt:

\, \Delta s \approx \frac{ h }{ | {(\text{grad} \, \Phi)}_P | } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \; (3.7)

Bevis: Vi låter \, d \textbf{r} \, i (3.3) vara ortogonal mot \, \Phi = c \, dvs. parallell med \, {(\text{grad} \, \Phi)}_P .
Vi sätter vidare \, d\Phi \approx \Delta \Phi = h \, samt \, | d \textbf{r} | \approx \Delta s . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \boxdot

Tätheten av ytor i nivåytefamiljen \, \Phi = c + n h \, , \, n \in \mathbb{Z} \,
är således direkt proportionell mot gradientvektorns belopp.

/////// Slut på citatet från Ramgard (1992).

From the KMR page on Gradients:

Flying carpets and level surfaces

The "flying carpet" style equation for the graph of the function f can be expressed as:

z = f(x, y).

The level surface style equation for the graph of the function f can be expressed as:

\mathrm g(x,y,z) \, \stackrel {\mathrm{def}}{=} f(x,y)-z = 0 \, .

In the animation below, the "input" function f is given by:

f(x, y) = \frac{1}{4} (x^2 + 4 y^2) .

The 3D-gradients of the level surfaces \, g(x, y, z) = f(x, y) - z = c_{onstant} \,
project (along the \, z -direction)
onto the 2D-gradients of the level curves
\, f(x, y) = c_{onstant} \, :

The interactive simulation that created this movie (Explained in English).
The interactive simulation that created this movie (Explained in Swedish).

///////

Level Surface 1 - Gradient:

\, g(x, y, z) = \frac{1}{3} (x^2 + 4 y^2 + 9 z^2) \,

The interactive simulation that created this movie (Explained in English).
The interactive simulation that created this movie (Explained in Swedish).

///////

Level Surface 2 - Gradient:

\, g(x, y, z) = \dfrac{x^2}{A} + \dfrac{y^2}{B} + \dfrac{z^2}{C} \; , \; C < B < A \,

The interactive simulation that created this movie (Explained in English).
The interactive simulation that created this movie (Explained in Swedish).

/////// Citerar Ramgard (1992, sid 22):

3.2 Potentialen

Definition: Om det för ett givet vektorfält \, \textbf{A} \, existerar ett skalärfält \, \Phi \, sådant att

\, A = \text{grad} \, \Phi \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; (3.8)

sägs \, \textbf{A} \, ha (den skalära) potentialen \, \Phi .

Potentialen för \, \textbf{A} \, är bestämd på en konstant när. Om nämligen

\, A = \text{grad} \, {\Phi}_1 = \text{grad} \, {\Phi}_2 \,

gäller \, \text{grad} \, ( {\Phi}_1 - {\Phi}_2 ) = 0 , vilket medför att \, {\Phi}_1 - {\Phi}_2 = c , dvs. \, {\Phi}_1 = {\Phi}_2 + c .

Sats 3.5 Om det kontinuerligt deriverbara vektorfältet \, \textbf{A} \, har en potential så gäller

\, \frac{\partial A_y}{\partial x} = \frac{\partial A_x}{\partial y} \, , \quad \small \text {cykl.} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;\; (3.9)

Bevis:

\, \frac{\partial A_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial A_x}{\partial y} \, , \quad \small \text {cykl.} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \boxdot

Vi skall senare se (i kap 7) att man omvänt ur (3.9) samt vissa förutsättningar kan sluta sig till att vektorfältet \, \textbf{A} \, har en potential.

Ofta definieras en potential \, U(\textbf{r}) \, för \, \textbf{A} ur ekvationen

\, \textbf{A} = - \text{grad} \, U. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad (3.10)

Sambandet mellan \, \Phi \, och \, U \, är

\, U(\textbf{r}) = - \Phi(\textbf{r}) + c. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \, (3.11)

/////// Slut på citatet från Ramgard (1992).

///////

Electromagnetic radiation

A planar electromagnetic wave:

The interactive simulation that created this movie.

The electric part of the wave: \, E(\mathbf{\hat{k}}, \mathbf{x}, \omega, t) \, = \, e^{ \, i \,(\mathbf{\hat{k}} \cdot \mathbf{x} \, - \, \omega \, t)} \,

The magnetic part of the wave: \, B(\mathbf{\hat{k}}, \mathbf{x}, \omega, t) \, = \, e^{ \, i \, (\mathbf{\hat{k}} \cdot \mathbf{x} \, - \, (\omega \, + \, \pi/2) \, t)} \,

The entire wave: \, E_m(\mathbf{\hat{k}}, \mathbf{x}, \omega, t) \, = \, E(\mathbf{\hat{k}}, \mathbf{x}, \omega, t) \, + \, B(\mathbf{\hat{k}}, \mathbf{x}, \omega, t) \,

Its Poynting vector : \, S \, = \, \frac{1}{{\mu}_0} \, E \, \times \, B

///////

Electromagnetism

Maxwell and Dirac theories as an already unified theory

Conceptual background:

Geometric Algebra

Clifford Algebra

Historical background:

The Evolution Of Geometric Arithmetic

///////

Divergence and curl: The language of Maxwell's equations, fluid flow, and more
Steven Strogatz on YouTube

///////

Leave a Reply