Linjer i planet
och plan i rymden

Denna sida är en undersida till vår sida om Euclidean Geometry.

///////

Relaterade KMR-sidor:

Linear Algebra
The Mathematical Explainatorium

///////

De interaktiva simuleringarna på denna sida kan navigeras med “the Fee Viewer of the Graphing Calculator“.

///////

Representation och Rekonstruktion av en Presentant mot en viss Bakgrund

Representation: \, [ \, p_{resentant} \, ]_{B_{akgrund}} \, \mapsto \, \left< \, r_{epresentant} \, \right>_{B_{akgrund}}

Rekonstruktion: \, \left( \, \left< \, r_{epresentant} \, \right>_{B_{akgrund}} \, \right)_{B_{akgrund}} \mapsto \,\, p_{resentant}

///////

Två vinkelräta linjer genom punkten (0, m) på lutningsform:

\, [ \, l_{inje1} \, ]_{L_{utningsForm}} \, \mapsto \, \left< \; y = kx + m \; \right>_{L_{utningsForm}} .

Denna form kan representera alla linjer i planet utom linjen \, x = 0 \, ,
som motsvarar ett oändligt värde på lutningen \, k .

Den vinkelräta linjen genom punkten (0, m) på lutningsform ges av

\, [ \, l_{inje2} \, ]_{L_{utningsForm}} \, \mapsto \, \left< \; y = (-\frac{1}{k})x + m \; \right>_{L_{utningsForm}} .

Denna form kan representera alla linjer i planet utom linjen \, y = 0 \, ,
som motsvarar ett oändligt värde på lutningen \, k .

Den interaktiva simulering som skapade denna film.

///////

Linje på tvåpunktsform

Denna form kan representera alla linjer i planet.

Låt \, A \, och \, B \, vara två dragbara punkter. En dragbar punkt representeras i Graphing Calculator som ett komplext tal. \, xy -koordinaterna för punkterna \, A \, och \, B \, ges därför av
\, (\mathrm{Re} \, A, \mathrm{Im} \, A) \, respektive \, (\mathrm{Re} \, B, \mathrm{Im} \, B) .

Den interaktiva simulering som skapade denna film.

///////

Två vinkelräta linjer genom origo på vinkelform

Denna form kan representera alla linjer (i planet) som går genom origo.

\, [ \, l_{inje1} \, ]_{V_{inkelForm}} \, \mapsto \, \left< \; (x-a) \sin \phi - (y-b) \cos \phi = 0 \; \right>_{V_{inkelForm}} .

Den vinkelräta linjen genom punkten \, (a, b) \, på vinkelform ges av

\, [ \, l_{inje2} \, ]_{V_{inkelForm}} \, \mapsto \, \left< \; (x-a) \cos \phi + (y-b) \sin \phi = 0 \; \right>_{V_{inkelForm}} .

Den interaktiva simulering som skapade denna film.

///////

Två vinkelräta linjer genom origo på hyperplansform

Den interaktiva simulering som skapade denna film.

///////

Två vinkelräta linjer genom genom punkten \, (a, b) \, på “affinhyperplansform”

Denna form kan representera alla linjer i planet.

TERMINOLOGI: Ett affint hyperplan är ett plan som kan vara parallellförskjutet så att det inte nödvändigtvis går genom origo – vilket ett hyperplan alltid gör.

En dragbar punkt representeras i Graphing Calculator som ett komplext tal.

Inför variablerna \, a = \mathrm{Re} \, A \, och \, b = \mathrm{Im} \, A \, och låt \, A \, vara en dragbar punkt.
\, xy -koordinaterna för punkten \, A \, ges då av \, (A_x, A_y) = (a, b) .

\, [ \, l_{inje1} \, ]_{A_{ffinHyperPlansForm}} \, \mapsto \, \left< \; p (x-a) + q (y-b) = 0 \; \right>_{A_{ffinHyperPlansForm}} .

Den vinkelräta linjen genom punkten \, (a, b) \, ges av:

\, [ \, l_{inje2} \, ]_{A_{ffinHyperPlansForm}} \, \mapsto \, \left< \; q (x-a) - p (y-b) = 0 \; \right>_{A_{ffinHyperPlansForm}} .

Den interaktiva simulering som skapade denna film.

///////

Linje genom punkten (Re A, Im A) vinkelrät mot riktningen (Re B, Im B)

Denna form kan representera alla linjer i planet.

Låt \, A \, och \, B \, vara två dragbara punkter. En dragbar punkt representeras i Graphing Calculator som ett komplext tal. \, xy -koordinaterna för punkterna \, A \, och \, B \, ges av \, (A_x, A_y) = (\mathrm{Re} \, A, \mathrm{Im} \, A) \, respektive \, (B_x, B_y) = (\mathrm{Re} \, B, \mathrm{Im} \, B) .

Den interaktiva simulering som skapade denna film.

///////

Linje genom punkten (Re A, Im A) längs riktningen (Re B, Im B) på parameterform

Denna form kan representera alla linjer i planet.

Den interaktiva simulering som skapade denna film.

///////

Eulkidiska punkter och linjer i planet uttryckta i homogena koordinater

Linje-utvidgad-representation (med formler)

Det Euklidiska planet kan identifieras med planet \, z = 1 \, i den Euklidiska 3D-rymden.

Den homogena representationsformen kan representera alla Euklidiska punkter och linjer i planet. Dessutom har den exakt det “utrymme” som behövs för att kunna representera ett antal nya punkter (kallade “oändligt avlägsna”). Alla “oändlighetspunkter” har sin \, z -koordinat lika med noll och måste därför ligga på en och samma linje (kallad “linjen i oändligheten“). Denna linje representeras av planet \, z = 0 . Detta leder till så kallad projektiv geometri.

Linjens skärningspunkt med \, x-axeln har \, xy-koordinaterna \, (a,0) .

Linjens skärningspunkt med \, y-axeln har \, xy-koordinaterna \, (0,b) .

Linjens ekvation i det Euklidiska planet ges av \; bx + a(y-b) = 0 .

\, z = 1 \, ,

\, \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} \,


\, \lgroup \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} \rgroup \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \, = \, 0 \,

\, bx + ay - abz = 0 .

\, z = 0 .

///////

Den interaktiva simulering som skapade denna film.

///////

Projective Geometry

///////

Leave a Reply